和事件的概率求法-白红宇

和事件的概率求法

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发布时间：2019-06-27

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前言

当见到求$P(A+B)$时，绝大多数学生的反应是$P(A+B)=P(A)+P(B)$，其实这是不对的，原因是这个公式的使用是有前提条件的，到底是什么，请耐心阅读以下内容。就比如$log_2 M^2=2log_2M$，其前提是$M>0$。所以使用公式需要明确公式使用的前提条件。

依据题目所给的条件判断或利用已知关系确定。

不论各子事件的关系如何，事件$A+B$含义都是“事件$A$，$B$中至少有一个发生”；事件$A+B+C$含义都是“事件$A$，$B$，$C$中至少有一个发生”；

加号仅仅是将这几个事件相连，并不能决定事件之间的关系，事件的关系要依据题目所给的条件判断或利用已知关系确定。

当事件$A$，$B$互斥时，$P(A+B)=P(A)+P(B)$；

当事件$A$，$B$不互斥时，$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$；

当事件$A$，$B$相互独立时，$P(A+B)=1-P(\bar{A})P(\bar{B})$；

例1【2018凤翔中学高三文科课时作业】

抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字$1，2，3，4，5，6$)，事件A表示“朝上一面的数字是奇数”，事件B表示“朝上一面的数字不超过2”，则$P(A+B)$=__________.

错解：由题目容易知道，$P(A)=\cfrac{3}{6}$，$P(B)=\cfrac{2}{6}$，故$P(A+B)=P(A)+P(B)=\cfrac{5}{6}$。其实这个解法是错误的。原因是事件$A，B$不是互斥的，因为如果点数是$1$，则事件$A，B$都发生了，

故彼此不互斥，此时不能使用$P(A+B)=P(A)+P(B)$公式计算。

那么，该如何计算呢？

此时我们使用和事件的一般加法法则：$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，

法1：$P(A)=\cfrac{3}{6}$，$P(B)=\cfrac{2}{6}$，$P(AB)=\cfrac{1}{6}$，

故$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\cfrac{3}{6}+\cfrac{2}{6}-\cfrac{1}{6}=\cfrac{4}{6}=\cfrac{2}{3}$。

也可以这样思考，$P(A)=\cfrac{n(A)}{n(\Omega )}$，其中$A\subseteq \Omega$，$n(\Omega )$指试验包含的基本事件集合中的元素个数，$n(A)$指事件$A$包含的基本事件集合中的元素个数；

法2：试验包含的基本事件集合中的元素为$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，元素个数为$6$，事件$A$的集合中的元素为$1$，$2$，$3$，$5$，元素个数为$4$，故所求概率为$P(A)=\cfrac{4}{6}=\cfrac{2}{3}$。

解后反思：见到题目中的$P(A+B)$，不要一味的只想到$P(A+B)=P(A)+P(B)$，应该判断事件的关系在先，就像研究函数一样，定义域优先。

如果满足互斥，则使用公式$P(A+B)=P(A)+P(B)$来计算；如果不满足互斥，则使用公式$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$来计算。

例2若事件$A$，$B$，$C$相互独立，且$P(A)=0.25$，$P(B)=0.50$，$P(C)=0.40$，则$P(A+B+C)$等于【】

$A、0.80$ $B、0.15$ $C、0.55$ $D、0.775$

分析：由于事件$A$，$B$，$C$相互独立，则事件$A+B+C$表示事件$A$发生，或事件$B$发生，或事件$C$发生，即事件$A$，$B$，$C$中至少有一个发生，其对立面是一个都没有发生，

故$P(A+B+C)=1-P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})\cdot P(\bar{C})=1-[(1-0.25)(1-0.50)(1-0.45)]$

$=1-0.225=0.775$，故选$D$。

常见错误：

①$P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)$；

②$P(A+B+C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)$；

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/8574790.html

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